Paradosso di Zenone: la tartaruga è più veloce di Achille?

“Chi è un amico? Un altro io” – Zenone di Elea

Il più famoso dei paradossi formulati dal filosofo greco Zenone di Elea, vissuto nel 500 a.C., è noto come il paradosso di Achille e la tartaruga. Per paradosso si intende un ragionamento che in apparenza risulta logico, ma che però conduce ad un assurdo.

Zenone formulò un esperimento ideale immaginando una gara di velocità tra Achille, detto ‘piè veloce’, ed una tartaruga, alla quale, in virtù della proverbiale lentezza, veniva concesso un vantaggio, posizionandola a metà del percorso tra il punto di partenza A ed il punto B corrispondente al traguardo.

Tutti possiamo ben immaginare che Achille raggiungerà la tartaruga e taglierà per primo il traguardo. Seguendo però il ragionamento del grande filosofo, Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga (assurdo).

Zenone si chiese come ciò potesse accadere, cioè dove si annidasse l’errore nel suo, apparente, ragionamento logico. Osservando la figura, indichiamo con AB il segmento corrispondente al percorso di gara. Achille partirà dal punto A mentre la tartaruga partirà dal punto T, cioè dal punto medio tra A e B.

Achille inizialmente deve percorrere metà della distanza tra i punti A e B raggiungendo il loro punto medio T. Nel frattempo, la tartaruga avrà percorso un certo tratto e si troverà ad esempio nel punto C. Achille allora raggiungerà successivamente il punto C in cui si trovava la tartaruga, ma questa nel frattempo avrà percorso un altro piccolo spazio portandosi al punto D.

Quando Achille raggiungerà il punto D, la tartaruga si sarà spostata ancora di un po’ e si troverà nel punto E. Achille allora raggiungerà il punto E, ma intanto la tartaruga si sarà spostata di un ulteriore piccolo spazio e si troverà nel punto F. E così via all’infinito.

Quindi, secondo il ragionamento di Zenone, Achille si avvicinerà sempre di più alla tartaruga, senza però raggiungerla mai. Achille infatti dovrà percorrere successivamente una infinità di tratti sempre più piccoli (infinitesimi) ma non nulli.

Vediamo di chiarire meglio in cosa consiste davvero questo paradosso. Ovviamente Zenone era consapevole che nella realtà Achille avrebbe raggiunto e superato la tartaruga in un baleno.

Ma ciò che lo tormentava era come dimostrarlo matematicamente; la somma di una serie infinita di termini finiti doveva, secondo logica, fornire un numero infinito. Questa assunzione conduce però ad un risultato opposto a quello che si riscontra nella realtà. Zenone era quindi consapevole del fatto, che nel suo ragionamento doveva per forza esserci un errore, ma non fu in grado di trovarlo. Neppure i grandi pensatori che lo seguirono nei secoli successivi furono in grado di stabilire dove si trovasse l’errore. Occorsero oltre duemila anni per risolvere il busillis.

Infatti, intorno al 1700 d.C., con la scoperta del concetto di serie matematica si riuscirà a risolvere il rompicapo di Zenone.

Da ricordare che lo studio delle serie costituisce una corposa branca della matematica. L’erronea conclusione a cui giunse Zenone poggiava sulla errata considerazione, che la somma di un numero infinito di termini dia sempre un risultato infinito (in gergo matematico si dice che tale somma diverge).

Oltre ai numerosi meriti attribuiti a Zenone spetta anche quello, molto rilevante, di essersi posto il problema di come calcolare una somma di infiniti addendi.

Con la scoperta, in tempi relativamente recenti, dello strumento matematico delle serie numeriche si poté dimostrare, che la somma di una quantità infinita di termini può fornire un risultato finito, e questo si potrebbe verificare quando i termini della somma, procedendo, diventano sempre più piccoli (in gergo matematico si dice che siamo in presenza di una serie convergente, ciò significa che la somma produce un risultato numerico finito pur essendo composta da una serie infinita di addendi).

Non ho volutamente riportato un esempio numerico che, se anche semplificato, sarebbe risultato farraginoso; ma ho cercato di chiarire (così spero) il paradosso per via concettuale. Ho evitato pertanto i numeri in quanto, sicuramente, per semplificare i calcoli, avrei dovuto considerare valori delle velocità poco realistici, quali ad esempio quello di attribuire alla tartaruga una velocità di un metro al secondo.

Questo soprattutto dopo una osservazione che mi venne fatta tempo addietro, quando fu pubblicato un mio articolo intitolato “Dilatazione del tempo”. Mi venne fatta una contestazione alla quale volutamente non risposi per evitare sterili polemiche. Ma ora, trascorsi molti mesi, e senza menzionare la persona, ritengo utile un chiarimento anche in considerazione del presente articolo. Ogni qualvolta scrivo di cose scientifiche ci tengo a precisare che non appartengono al mio campo di competenze. Però, prima di scrivere su questi argomenti, mi informo scrupolosamente. Le mie prime fonti sono mio marito e mio figlio, poi anche altre persone, quindi gli articoli presenti sul web, e Wikipedia. Solo allora quando tutto coincide mi dedico a scrivere dell’argomento.

La contestazione che allora mi venne mossa fu quella di aver commesso un errore nel riportare che la velocità della luce è di 300000 Km/s, mentre, secondo chi contestava, il valore corretto sarebbe di 299997 Km/s (errato!!!). Nei libri universitari di fisica come Halliday&Resnick, Serway, e pure in quelli autorevoli del MIT (Massachussets Institute of Technology) si invitano gli studenti, nei loro calcoli, ad usare ad esempio per la velocità della luce il valore di 300000 Km/s e per la distanza Terra-Luna il valore di 400000 Km, anche se il valore esatto della velocità della luce è di 299792,458 Km/s ed il valore esatto della distanza Terra-Luna è di 384400 Km.

Risulta ovvio il motivo dell’arrotondamento per calcoli che non implichino l’invio di razzi sulla Luna (ricordo che per il primo lancio lunare vennero usati numeri con sedici decimali) o calcoli di estrema precisione per gli scontri tra particelle subatomiche nei laboratori del CERN (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire).

Così, nel mio articolo usai il valore che Halliday&Resnick forniscono nell’appendice B del loro monumentale lavoro in due volumi (libri di testo universitari di mio marito). Viene considerato “a Computation value of 300000 Km/s” (cioè il valore da utilizzarsi nei comuni calcoli), mentre a pag.4 del capitolo 1 intitolato Measurements viene indicato come “Exact value 299792,458 Km/s”. Questi valori coincidono esattamente con quelli riportati su Wikipedia e su Google.

Inoltre, in un altro famoso testo utilizzato nelle facoltà di Fisica Nucleare e Ingegneria e cioè il Serway Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (testo universitario utilizzato a suo tempo da mio figlio) a pag.3 del paragrafo Physical Constants si legge: “Speed of light c=299792,458 Km/s exact value”. Purtroppo “l’errorino” (così lo definì chi faceva la contestazione), è di chi fece l’osservazione riportando come velocità della luce il valore 299997 Km/s. Valore errato!

Non è mia intenzione polemizzare con alcuno, infatti non replicherò ad eventuali contestazioni, ci sono fin troppi maestri e tuttologi sul web, dotati, lo riconosco, di grandi capacità nell’utilizzare parole complesse, così forbite da far pensare a chissà quali profondità di pensiero.

Io credo molto, al contrario, nella semplicità dell’esposizione, tale che risulti comprensibile a tutti e per prima a me stessa.

Mi immagino le osservazioni che mi sarebbero state mosse se avessi fatto un esempio numerico: “figurarsi se una tartaruga può muoversi alla velocità di un metro al secondo”, non comprendendo che numeri facili, anche se non realistici, semplificano la complessità dei calcoli, permettendo anche a un non addetto ai lavori di concentrarsi solo sul concetto e non sulla complessità dei calcoli.

Written by Carolina Colombi

Bibliografia

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Halliday&Resnick 10th edition

Raymond A. Serway, Jr. Jewett, Physics for Scientists and Engineers With Modern Physics, Ninth Edition