Le métier de la critique: Eratostene di Cirene e la misura della circonferenza della Terra

“Anissamandro di Mileto, discepolo di Talete, per primo ardì disegnare su una carta bianca la terra abitata: dopo di lui Ecateo di Mileto, viaggiatore instancabile, la perfezionò sì da farne un’opera mirabile…” ‒ Eratostene di Cirene

È cosa nota che già gli antichi Greci considerassero la Terra sferica; a confermare l’idea abbiamo anche la testimonianza di Pitagora che, intorno al 500 a.C., avvalorò questa ipotesi.

Ipotesi che prendeva spunto dal fatto che se la Luna è tondeggiante anche la Terra doveva avere la stessa conformazione. Ad accreditare tale teoria si aggiunse Aristotele, il quale nel 350 a.C. sostenne anch’esso che la Terra aveva le sembianze di una sfera.

Ma, per supportare con maggiore lucidità la speculazione su cui vuole soffermarsi questo scritto, è opportuno presentare Eratostene, personaggio di multiforme ingegno, il quale ebbe una brillante intuizione, al fine di dare un’ulteriore prova di quanto sostenuto dai pensatori che l’avevano preceduto.

Eratostene nacque a Cirene (l’odierna Libia) nel 276 a.C., dove ebbe modo di sviluppare il suo acume attraverso studi delle più svariate discipline. La matematica, l’astronomia, la poesia, la geografia e la filosofia fra queste. Dunque, fu uno dei più versatili intellettuali della sua epoca.

Infine, concluse la sua parabola terrena nel 194 a.C. in Alessandria d’Egitto.

Eratostene approfondì molte questioni fondamentali che hanno contribuito ad ampliare gli orizzonti matematici dell’epoca, fondamenti in uso ancora oggi.

Il suo nome è però rimasto legato, più che ad altre sue intuizioni, al calcolo della circonferenza della Terra. È notevole il fatto che il risultato ottenuto, come si evince dalle considerazioni che seguono, differisce di poco dal valore reale calcolato ai nostri giorni.

Ma, veniamo alle modalità con cui Eratostene ha dato dimostrazione della veridicità della sua teoria.

Per sviluppare i suoi calcoli innanzitutto si servì di due pali, di lunghezza nota, qui definita con L.

Stabilì che tali pali si sarebbero dovuti piantare in un terreno pianeggiante, in modo da formare con quest’ultimo un angolo di 90°. Di conseguenza dovevano essere perpendicolari al suolo (fig.1).

Un palo andava piantato nella città di Siene (attuale Assuan), mentre l’altro nella città di Alessandria. La distanza tra le due città, definita D, era nota ed equivaleva a 5000 stadi.

Da ricordare, che all’epoca le lunghezze venivano misurate in stadi egizi, e uno stadio corrispondeva a 157.5 metri.

Eratostene era a conoscenza che a mezzogiorno del solstizio d’estate, a Siene, il Sole illuminava il fondo dei pozzi. Ciò, sta a significare che i raggi solari, in quel luogo e in quel momento, risultavano essere perpendicolari al terreno. Per avere giustezza e conferma alla sua ipotesi, incaricò un suo collaboratore di raggiungere Siene, con il compito di piantare un palo in un terreno sempre pianeggiante, e rilevare (a mezzogiorno del solstizio d’estate) la lunghezza dell’ombra proiettata dal bastone piantato nel terreno.

Ma, così come sospettava, il risultato fu che il bastone non proiettava alcuna ombra sul terreno (fig. 2).

Analogamente, inviò un altro assistente ad Alessandria, con lo stesso compito e munito di un palo lungo esattamente quanto il precedente. In questo caso (sempre a mezzogiorno del solstizio d’estate, onde rispettare la contemporaneità dei due eventi) venne misurata un’ombra di lunghezza N (fig. 3).

Poiché le figure 2 e 3 potrebbero indurre in errore a proposito dell’inclinazione dei raggi solari, osserviamo che, data l’enorme distanza Terra-Sole, (oggi sappiamo che è di circa 150milioni di Km) è appropriato stimare che i raggi solari siano fra loro paralleli (fig. 4).

Ma, per tornare alla sperimentazione compiuta dagli assistenti di Eratostene, consideriamo il triangolo rettangolo che ad Alessandria, il palo, di lunghezza L, forma con l’ombra, di lunghezza N, proiettata dallo palo stesso, sul terreno pianeggiante, quale conseguenza di quest’osservazione, si configura il triangolo rettangolo ABC. (fig. 5)

A tale triangolo Eratostene applicò il teorema conosciuto come teorema di Pitagora.

Come è noto si tratta di un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione tra i lati di un triangolo rettangolo: In ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.

Calcolata quindi la lunghezza I del terzo lato del triangolo (ipotenusa), con una semplice formula di trigonometria possiamo calcolare l’angolo beta, il cui risultato sarà beta = 7.2°.

Per fare maggior chiarezza circa la speculazione in questione, in riferimento alla fig. 4, consideriamo un altro semplice teorema della geometria euclidea: Due rette r1 e r2 tagliate da una retta trasversale t, formano angoli alterni interni uguali.

Pertanto, alfa = beta e quindi alfa = 7.2°.

Inoltre, un ulteriore teorema a cui Eratostene ricorse, e riguardante ancora la geometria euclidea, si riferisce agli archi di circonferenza e ai corrispondenti angoli al centro, per cui Gli archi di circonferenza sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro (fig. 6).

È un dato di fatto che alla circonferenza di un cerchio corrisponde un angolo di 360°.

Ricorrendo ad una semplice proporzione si può quindi calcolare la lunghezza della circonferenza della Terra, ovvero: L’arco di circonferenza di lunghezza D (segnato in rosso in fig. 6) e lungo 5000 stadi (distanza Siene-Alessandria) insiste su un angolo di 7.2°, come una circonferenza lunga C insiste su un angolo di 360°.

Avremo quindi D: alfa = C: 360°  (D sta ad alfa come C sta a 360°) da cui (ricordando che prodotto dei medi uguale a prodotto degli estremi)  C = (360 x D) / alfa.

Sostituendo i valori noti si ottiene C = 250mila stadi.

Come già ricordato in precedenza 1 stadio corrispondeva a metri 157.5, ne consegue quindi che, C= 250000 x 157.5 = 39375000 metri.  Trasformando in chilometri il risultato dato in metri, e cioè dividendo per 1000, si ottiene C = 39375 Km.

Oggi, il valore accreditato per la misura della circonferenza terrestre è di 40075 Km.

Come si può ben vedere, il risultato a cui giunse Eratostene prevedeva uno scarto minimo rispetto alla misura della circonferenza terrestre oggi accettata.

Volendo indagare circa l’errore percentuale della misurazione effettuata da Eratostene, si può affermare che calcolarlo è cosa fattibile.

Si procede mediante la seguente formula: errore percentuale = (valore vero cioè 40075 – valore misurato cioè 39375) diviso per il valore vero, il tutto moltiplicato 100. Operazione il cui risultato è di 1.7%.

Senza alcun dubbio, il risultato a cui giunse Eratostene, tenuto conto dei tempi in cui venne effettuata la misurazione, fu a dir poco fenomenale.

Oggi sappiamo che la Terra non è una sfera perfetta ma piuttosto un ellissoide. Considerazione che gli antichi Greci non potevano fare a quel tempo, non disponendo della nostra attuale tecnologia. Motivo questo, in gran parte responsabile della piccola differenza di errore.

Per concludere, Eratostene, utilizzando alcuni dei più semplici teoremi della geometria euclidea (che vengono trattati nei programmi scolastici tra la fine delle elementari e la scuola media) studiò un semplicissimo procedimento che gli permise di calcolare la circonferenza della Terra. In conseguenza del quale si può ascrivere Eratostene fra i più grandi geni che il genere umano abbia partorito.

“Dato che sei abile e un eccellente maestro di filosofia e che non ti tiri indietro di fronte a problemi matematici che ti si presentano, ho pensato di esporti per iscritto e illustrarti in questo stesso libro un metodo di natura particolare, grazie al quale sarai in grado di venire a capo di problemi matematici grazie alla meccanica…” ‒ Eratostene di Cirene

Written by Carolina Colombi